Question

4．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁a₂…a_n=2${\;}^{_{n}-n}$，若{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=1，b₂=b₁+2．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$-$\frac{2}{n（n+1）}$（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 此題考察數(shù)列的求和公式和數(shù)列的遞推關(guān)系．（1）從遞推關(guān)系式入手，求出b1，b2，q的值，進(jìn)而求出數(shù)列an，bn．
（2）觀察數(shù)列形式，一個(gè)可以用等比數(shù)列求和，一個(gè)可以用分解相消的方法求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q
n=1時(shí)a₁=2^b₁-1，a₁=1，∴b₁=1，b₂=3
n=2時(shí)，a₁a₂=2^b₂-2，∴a₂=2
∴q=2
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1
（2）a₁a₂a₃…a_n=a₁ⁿq^{（1+2+…+n-1）}=${q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
∴b_n-n=$\frac{n（n-1）}{2}$
∴b_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$
（2）s_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1-2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$_）
=2-2（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{2n}{n+1}$
=$\frac{2n}{n+1}$-2（$\frac{1}{2}$）ⁿ+2

點(diǎn)評(píng) 此題考察對(duì)遞推關(guān)系的分析和裂項(xiàng)法的應(yīng)用，也是常規(guī)方法的考察，學(xué)生應(yīng)熟悉常見(jiàn)裂項(xiàng)的常見(jiàn)題型