Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=4，．
（Ⅰ）求證：x_n＞3；
（Ⅱ）求證：x_n+1＜x_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）結(jié)合題設(shè)條件，利用數(shù)學歸納法進行證明．
（Ⅱ）．由x_n＞3，知x_n+1＜x_n．
（Ⅲ），，由題題條件能導出a_n=2^n-1．由，得．從而得到．
解答：解：
（Ⅰ）證明：用數(shù)學歸納法證明
①當n=1時，x₁=4＞3．所以結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（n≥1）時結(jié)論成立，即x_n＞3，則．
所以x_n+1＞3．
即n=k+1時，結(jié)論成立．
由①②可知對任意的正整數(shù)n，都有x_n＞3．（4分）
（Ⅱ）證明：．
因為x_n＞3，所以，即x_n+1-x_n＜0．
所以x_n+1＜x_n．（9分）
（Ⅲ）解：，，
所以．
又，
所以．（11分）
又，
令，則數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
所以a_n=2^n-1．
由，得．
所以．（14分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法的證明過程．