(滿分14分)在斜四棱柱

中,已知底面

是邊長為4的菱形,

,且點

在面

上的射影是底面對角線

與
AC的交點
O,設(shè)點
E是

的中點,

.
(Ⅰ) 求證:四邊形

是矩形;
(Ⅱ) 求二面角

的大小;

(Ⅲ) 求四面體

的體積.
解法一:(Ⅰ) 連接

.
因為四邊形

為菱形,
所以

,又

面

,[所以

.
而

,所以

.因為四邊形

是平行四邊形,所以四邊形

是矩形.
(Ⅱ) 連接
OE,因為

,所以

平面

,∴

,即

為二面角
E─

─
C的平面角.在菱形

中,
又
E是

的中點,

.所以

.
在

△

中,

,∴

,

,
所以在△

中,有

,即二面角
E─
BD─
C的大小為

. 9分
(Ⅲ) 設(shè)點
D到平面

的距離為
h,則有

.
因為

是

的中點,所以


14分
解法二:(Ⅰ) 連結(jié)
AC、
BD相交于
O,連結(jié)

.
由已知,有
AC⊥
BD,

⊥面
ABCD,故可建立空間直角坐標系

,
且以下各點的坐標分別為:

, 1分
設(shè)

,


,

3分又



,

四邊形

為平行四邊形.

是矩形. 4分
(Ⅱ) 設(shè)

,則

.

, 由

可求得

∴

.設(shè)

為平面
EBD的法向量,
則由

,得


可取


,

. 6分

平面

平面
BDC的法向量為


,
而

.
∴ 二面角
E─
BD─
C的大小為

. 9分
(Ⅲ) 設(shè)

為平面

的法向量,
則由

,得

∴ 可取

,

.

到平面

的距離

. 11分
而

,又由(Ⅰ)知,

,

.················ 14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知,如圖四棱錐
P—
ABCD中,底面
ABCD是平行四邊形,
PG⊥平面
ABCD,垂足為
G,
G在
AD上,且
AG=
GD,
BG⊥
GC,
GB=
GC=2,
E是
BC的中點,四面體
P—
BCG的體積為

.
(Ⅰ)求異面直線
GE與
PC所成的角;

(Ⅱ)求點
D到平面
PBG的距離;
(Ⅲ)若
F點是棱
PC上一點,且
DF⊥
GC,求

的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在棱長為
a的正方體
ABCD—
A′
B′
C′
D′中,
E、
F分別是
BC、
A′
D′的中點
(1)求直線
A′
C與
DE所成的角;
(2)求直線
AD與平面
B′
EDF所成的角;
(3)求面
B′
EDF與面
ABCD所成的角

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖1,在正四棱柱

中,E、F
分別是

的中點,則以下結(jié)論中不成立的是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
α、β是兩個不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩條不同直線,給出四個論斷:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題,并證明它.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題

如圖,正方形

和

的邊長均為1,且它們所在平面互相垂直,

為線段

的中點,

為線段

的中點。
(1)求證:

∥面

;
(2)求證:平面

⊥平面

;
(3)求直線

與平面

所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知

,

為空間中一點,且

,則直線

與平面

所成角

的正弦值為
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,斜三棱柱

的所有棱長均為

,側(cè)面

底面

,且

.

(1)求異面直線

與

間的距離;
(2)求側(cè)面

與底面

所成二面角的度數(shù).
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知正四棱柱

,點
P是棱
DD1的中點,

,
AB=1,若點
Q在側(cè)面

(包括其邊界)上運動,且總保持

,則動點
Q的軌跡是 ( )

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