Question

已知一扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為R，若扇形的周長為40cm，當它的圓心角α為多少弧度時，該扇形的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

分析：設出弧長，由周長得到弧長和半徑的關系，再把弧長和半徑的關系代入扇形的面積公式，轉化為關于半徑的二次函數(shù)，配方求出面積的最大值．

解答：解：設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=40，
即l=40-2r（0＜r＜40）①
扇形的面積S=

1

2

lr，將①代入，得S=

1

2

（40-2r）r=-r²+20r=-（r-10）²+100，
所以當且僅當r=10時，S有最大值100．此時
l=40-2×10=20，α=

l

r

=2．
所以當α=2rad時，扇形的面積取最大值100cm²

點評：本題考查角的弧度數(shù)與度數(shù)間的轉化，扇形的弧長公式和面積公式的應用，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．