Question

已知{a_n}，{b_n} 均為等差數列，前n項和分別為S_n，T_n．
（1）若平面內三個不共線向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OC

=a₃

OA

+a₁₅

OB

，且A，B，C三點共線．是否存在正整數n，使S_n為定值？若存在，請求出此定值；若不存在，請說明理由；
（2）若對 n∈N⁺，有 

Sn

Tn

=

31n+101

n+3

，求使 

an

bn

為整數的正整數n的集合．

Answer 1

考點：數列與向量的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列,平面向量及應用

分析：（1）根據平面向量的基本定理和A，B，C三點共線，以及等差數列的性質和求和公式，即可求出定值；
（2）根據等差數列的求和公式得到

an

bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

S2n-1

T2n-1

=

3ln+101

n+3

=31+

4

n+1

，繼而求出正整數n的集合．

解答： 解：（1）∵A，B，C三點共線．
∴?λ∈R，使

AC

=λ

AB

，

OC

-

OA

=λ（

OB

-

OC

），
即

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

，
又平面向量的基本定理得，

1-λ=a3 λ=a15

，消去λ得到a₃+a₁₅=1，
∵a₃+a₁₅=a₁+a₁₇=1，
∴S₁₇=

1

2

×17×（a₁+a₁₇）=

17

2

即存在n=17時，S₁₇為定值

17

2

．

（2）由于

an

bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

S2n-1

T2n-1

=

3ln+101

n+3

=31+

4

n+1

根據題意n+1的可能取值為2，4，
所以n的取值為1或3，
即使 

an

bn

為整數的正整數n的集合為{1，3}

點評：本題主要考查了向量以及等差數列的通項公式和求和公式的應用．考查了學生創(chuàng)造性解決問題的能力，屬于中檔題