Question

已知0≤x≤2，若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-∞，-

25

4

]

．

Answer 1

分析：先將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=4^x-3×2^x-4，的最小值問(wèn)題，再利用換元法設(shè)t=2^x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，最后利用配方法求其最小值即可

解答：解：令f（x）=4^x-3×2^x-4，設(shè)t=2^x，則1≤t≤4
則f（x）=g（t）=t²-3t-4=（t-

3

2

）²-

25

4

，（1≤t≤4）
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，g（t）取最小值-

25

4

即f（x）=4^x-3×2^x-4的最小值為-

25

4

若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，只需a小于或等于f（x）的最小值，
∴a≤-

25

4

故答案為(-∞，-

25

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題的一般解法，換元法求復(fù)合函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題