精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設(shè)函數(shù)y=（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（ $數(shù)學公式$ ）=1，
（1）求f（1）的值
（2）如果f（x）+f（ $數(shù)學公式$ -x）≤2，求x的值．

解：令x=y=1則f（1x1）=f（1）+f（1），故f（1）=0
（2）由題意知x＞0，且 $\text{[math]}$ -x＞0，
而f（x）+f（ $\text{[math]}$ -x）=f[x（ $\text{[math]}$ -x）]≤f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）
因為函數(shù)y=f（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，
故x（ $\text{[math]}$ -x）≥ $\text{[math]}$ ，故x= $\text{[math]}$ ∈（0， $\text{[math]}$ ）．
∴x= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）的值；
（2）依題意，f（x）+f（ $\text{[math]}$ -x）≤2?x（ $\text{[math]}$ -x）≥ $\text{[math]}$ ，解之即可．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，突出考查賦值法與等價轉(zhuǎn)化思想與不等式思想，考查運算能力，屬于中檔題．

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設(shè)函數(shù)y=f(x)=ax+

x+b

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（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心Q；
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