Question

已知函數(shù)f(x)＝log₄(2x＋3－x²)．
(1)求f(x)的定義域；
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

(1) {x|－1＜x＜3}
(2) 該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，3)

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性及函數(shù)的值域的求解，求解單調(diào)區(qū)間時(shí)不要漏掉對函數(shù)定義域的考慮．
（1）由題意可得2x+3-x²＞0，解不等式可求函數(shù)f（x）的定義域
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，只要求解t=2x+3-x²在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間即可
解 (1)令u＝2x＋3－x²，則u＞0，可得函數(shù)定義域是：{x|－1＜x＜3}．…5分
(2) y＝log₄u．由于u＝2x＋3－x²＝－(x－1)²＋4.
再考慮定義域可知，其增區(qū)間是(－1，1]，減區(qū)間是[1，3)． ……7分
又y＝log₄u為(0，＋∞)上的增函數(shù)，                      ……8分
故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，3)．    ……10分