【題目】已知函數(shù)，不等式對恒成立．

（1）求函數(shù)的極值和函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）求實數(shù)的取值的集合；

（3）設，函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于的不等式至少有一個解，求的取值范圍．

【答案】（1）極大值為，無極小值； ；（2） ；（3）.

【解析】

（1）對求導，然后利用導數(shù)大于零和導數(shù)小于零，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值.通過求出切點和斜率，利用點斜式求得切線方程.（2）當時不合題意.當時，對兩邊取以為底的對數(shù)，轉(zhuǎn)化為對恒成立.根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性以及極大值，可求得的值.（3）將關(guān)于的不等式左邊構(gòu)造為函數(shù)，對分成和兩類，分別利用函數(shù)的值域，和函數(shù)的導數(shù)，求解出的取值范圍.

（1），則時，時，故在遞增，在遞減，故； 又，故函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：

（2）顯然，不合題意。當時，由得，則有，故依題意知對恒成立.由前面的結(jié)論知，當時，取得最大值，故.又可知，當時，取得最大值，故 .故，綜上得 .

（3）設則.當時，，所以不存在 使得成立．故不合題意.當時，.因為， 所以在恒成立，故在單調(diào)遞減，，則依題意有.解之得故的取值范圍

練習冊系列答案
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【題目】己知動點M與到點N(3，0)的距離比動點M到直線x=-2的距離大1，記動圓M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點，且(O為坐標原點)，證明直線l經(jīng)過定點H，并求出H點的坐標.

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【題目】已知函數(shù)．

（）若是函數(shù)的一個極值點，求實數(shù)的值．

（）設，當時，函數(shù)的圖象恒不在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點.

（1）證明:∥平面.

（2）設二面角為，，，求三棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù)，在一個周期內(nèi)的圖象如下圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設，且方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和.

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【題目】一臺還可以用的機器由于使用的時間較長，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺陷，每小時生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機器運轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗結(jié)果：

轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒）

16

14

12

8

每小時生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)y（件）

11

9

8

5

（1）畫出散點圖；

（2）如果y與x有線性相關(guān)的關(guān)系，求回歸直線方程；

（3）若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個，那么機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi)？

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【題目】已知，，圓，一動圓在軸右側(cè)與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以，為焦點的橢圓。

（1）求曲線C的方程；

（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且，求曲線E的標準方程；

（3）在（1）、（2）的條件下，直線與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線的斜率的取值范圍。

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【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.

（1）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；

（2）若甲必選，記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）設E是上一點，試確定E的位置使平面平面BDE，并說明理由.

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