Question

27、對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”；若f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求證：A⊆B；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=3x+4，要求集合A和B，解出兩個(gè)方程f（x）=x與f[f（x）]=x的根，此兩方程的解集即為集合A和B；
（2）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據(jù)所給“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義來(lái)證明；
（3）A=∅，說(shuō)明f（x）=x無(wú)解，由“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義證明f[f（x）]=x無(wú)解即可得出B=∅．

解答：解：（1）令f（x）=3x+4=x，
解得x=-2，故有A={-2}
由于f[f（x）]=3（3x+4）+4=9x+16，
令9x+16=x，得x=-2，故有B={-2}
（2）若A=∅，則A⊆B顯然成立；若A≠∅，
設(shè)t∈A，
則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．
（3）若B≠∅．
則f[f（x）]=x有解，
即f（x）=x有解，
這與A=∅矛盾，
故B=∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過(guò)程中體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想