Question

9．已知f（x）為對數(shù)函數(shù)，且點P（$\frac{1}{4}$，2）在它的圖象上
（1）求f（x）的解析式；
（2）若二次函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，最小值為0，它的圖象與對數(shù)函數(shù)f（x）圖象有公共點P，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=log_ax，（a＞0，且a≠1），將P（$\frac{1}{4}$，2）代入可得f（x）的解析式；
（2）二次函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，最小值為0，則設g（x）=bx²，（b＞0），結(jié)合g（x）的圖象也過P點求出b值，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）為對數(shù)函數(shù)，
∴設f（x）=log_ax，（a＞0，且a≠1），
又∵點P（$\frac{1}{4}$，2）在函數(shù)的圖象上，
∴${log}_{a}\frac{1}{4}=2$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$；
（2）∵二次函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，最小值為0，
∴設g（x）=bx²，（b＞0），
又∵g（x）的圖象與對數(shù)函數(shù)f（x）圖象有公共點P，
∴g（x）的圖象也過P點，
∴b×$（\frac{1}{4}）^{2}$=2，
解得：b=32，
∴g（x）=32x²．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，難度中檔．