Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，當(dāng)xÎ (0，1)時(shí)，．

(1)求f(x)在[－1，1]上的解析式．

(2)證明f(x)在(0，1)上是減函數(shù)．

(3)當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f(x)=λ在[－1，1]上有解．

Answer 1

答案：略
解析：

根據(jù)xÎ (0，1)時(shí)函數(shù)的解析式及條件f(－x)=－f(x)，可求出xÎ (－1，0)時(shí)函數(shù)的解析式．根據(jù)f(－x)=－f(x)又可求出f(0)的值．怎樣求f(－1)、f(1)呢？需用條件f(x＋2)=f(x)．為了研究方程f(x)=λ在[－1，1]有解，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[－1，1]上的值域． (1)設(shè)xÎ (－1，0)，則－xÎ (0，1)． ∵f(－x)=－f(x)，且xÎ (0，1)時(shí)，，∴xÎ (－1，0)時(shí)，有． 在f(－x)=－f(x)中， 令x=0，得f(－0)=－f(0)f(0)=0． ∵f(x＋2)=f(x)，f(－x)=－f(x)，令x=－1，得f(－1＋2)=f(－1)，f(－1)=－f(1)， ∴f(1)=－f(1)f(1)=0，從而f(－1)=0． ∴當(dāng)xÎ [－1，1]時(shí)有 (2)設(shè)， ． ∵，∴．∴，． 又∵，，∴，即，∴． ∴f(x)在(0，1)上是減函數(shù)． (3)方程f(x)=λ在[－1，1]上有解的充要條件是，λ在函數(shù)f(x)，xÎ [－1，1]的值域內(nèi)取值． ∵xÎ (0，1)時(shí)，是減函數(shù)． ∴xÎ (0，1)時(shí)，f(0)＞f(x)＞f(1)，． ∵f(－x)=－f(x)，∴xÎ (－1，0)時(shí)，． 又f(－1)=f(0)=f(1)=0，∴時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/FONT>． ∴當(dāng)，或λ=0或時(shí)，方程f(x)在[－1，1]上有解． 在第(1)問(wèn)中，利用函數(shù)的一般性質(zhì)求解在特殊點(diǎn)的函數(shù)值是解題中的一種重要方法和技巧．在第(3)問(wèn)中，應(yīng)用了“函數(shù)方程思想”．