Question

如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=150°，∠AOC=120°，|

OA

|=2，|

OB

|=3，|

OC

|=4．
（1）用

OB

和

OC

表示

OA

；
（2）若

AD

=λ

AC

，

AC

⊥

BD

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)C所在的直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系寫出待定系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果．
（2）設(shè)出D點的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量共線的關(guān)系，得到系數(shù)和坐標(biāo)之間的關(guān)系，把設(shè)的點的坐標(biāo)用系數(shù)表示，根據(jù)兩個向量之間的垂直關(guān)系，數(shù)量積等于0，求出結(jié)果．

解答：解：（1）由題意得∠BOC=90°，以O(shè)C所在的直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則原點O（0，0），A（-1，

3

），B（0，-3），C（4，0）
設(shè)

0A

=λ1

OB

+λ2

OC

則(-1，

3

)=λ1(0，-3)+λ2(4，0)=(4λ2，-3λ1)
∴λ1=-

3

3

，λ2=-

1

4

∴

OA

=-

3

3

OB

-

1

4

OC

（2）設(shè)D（x，y），∵

AD

=λ

AC

∴(x+1，y-

3

)=λ(5，-

3

)
∴

x=5λ-1 y=- 3 λ+ 3

∴D(5λ-1，-

3

λ+

3

)
∵

AC

•

BD

=0
∴(5λ-1)×5+(3+

3

-

3

λ)(-

3

)=0
解得λ=

8+3 3

28

，
答：

OA

=-

3

3

OB

-

1

4

OC

，λ=

8+3 3

28

點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，根據(jù)向量之間的關(guān)系建立關(guān)系式，求出要的結(jié)果，本題是一個中檔題目．