Question

（本題滿分12分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

（1）當(dāng)，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由；

（2）設(shè)BE＝x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

 

Answer 1

（1）存在，且；（2）當(dāng)x＝3時(shí)，有最大值，最大值為3．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，由題意可知，則考慮取點(diǎn)于處，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由平行線分段成比例定理易知，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030206032465725330/SYS201503020603289542408561_DA/SYS201503020603289542408561_DA.011.png">，所以且，

（2）根據(jù)題意易知為三棱錐的高，則底面的長(zhǎng)為，高為，所以，從而可求出當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3.

試題解析：（1）存在使得滿足條件CP∥平面ABEF，且此時(shí)． 2分

下面證明： ，過(guò)點(diǎn)作MP∥FD，與AF交于點(diǎn)，則有，又FD＝，故MP＝3，又因?yàn)镋C＝3，MP∥FD∥EC，故有MPEC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以PC∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立． 6分

（2）因?yàn)槠矫鍭BEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．

由已知BE＝x，，所以AF＝x（0x4），F(xiàn)D＝6x．

故．所以，當(dāng)x＝3時(shí)，有最大值，最大值為3.

考點(diǎn)：1.平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化；2.線面平行的判定；3.三棱錐的體積.