Question

已知三個(gè)數(shù)列{F_n}，{k_n}，{r_n}滿足：F₁=F₂=1，F(xiàn)_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，則r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=

1. A.
   1517
2. B.
   1511
3. C.
   1507
4. D.
   1509

Answer 1

D
分析：r_n為F_n除以3所得的余數(shù)，依次寫出F_n的各項(xiàng)，得到{r_n}的奇數(shù)項(xiàng)按1，2，2，1的周期規(guī)律排列．項(xiàng)數(shù)共有1006個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，由此能夠求出結(jié)果．
解答：r_n為F_n除以3所得的余數(shù)，依次寫出F_n的各項(xiàng)
F₁ F₂ F₃ F₄ F₅ F₆ F₇ F₈ F₉ F₁₀ F₁₁ F₁₂ F₁₃ F₁₄ F₁₅
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
r₁ r₂ r₃ r₄ r₅ r₆ r₇ r₈ r₉ r₁₀ r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₁₄ r₁₅
1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1
從上面可以看出
r₁=1，r₃=2，r₅=2，r₇=1，r₉=1，r₁₁=2，r₁₃=2，r₁₅=1
{r_n}的奇數(shù)項(xiàng)按1，2，2，1的周期規(guī)律排列．
項(xiàng)數(shù)共有1006個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，故所求和為
251×6+3=1509，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題以裴波拉契數(shù)列為背景主要考查歸納猜想，以及抽象概括能力．對(duì)式子，r_n=F_n-3k_n的理解是順利解答本題的關(guān)鍵，對(duì)符號(hào)意義的抽象概括是目前一般創(chuàng)新題設(shè)計(jì)的重要素材，要關(guān)注抽象的符號(hào)題并適當(dāng)?shù)丶右杂?xùn)練．