Question

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)f（x）和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 

記，則f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等價(jià)于．求得 

當(dāng)時(shí);;當(dāng)時(shí)， 

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故．

（2）函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在［1,3］上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個(gè)相異實(shí)根。

令g（x）=x-2lnx,則 

當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，

g（x）在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)。

故 

又g（1）=1,g（3）=3-2ln3

∵g（1）>g（3）,∴只需g（2）<a≤g（3）,

故a的取值范圍是（2-2ln2,3-2ln3]

（3）存在m=，使得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性

,函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?,+∞）。

若，則，函數(shù)f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增，不合題意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（,+∞）， 單調(diào)遞減區(qū)間為（0, ）

而h（x）在（0,+∞）上的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,），單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）

故只需=，解之得m=

即當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性

【解析】略