Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A₁B₂與直線B₁F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為______．

Answer 1

解法一：由題意，可得直線A₁B₂的方程為

x

-a

+

y

b

=1，直線B₁F的方程為

x

c

+

y

-b

=1
兩直線聯(lián)立則點T（

2ac

a-c

，

b(a+c)

(a-c)

），則M（

ac

a-c

，

b(a+c)

2(a-c)

），由于此點在橢圓上，故有

c2

(a-c)2

+

(a+c)2

4(a-c)2

=1，整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得e=2

7

-5
故答案為e=2

7

-5
解法二：對橢圓進行壓縮變換，x′=

x

a

，y′=

y

b

，
橢圓變?yōu)閱挝粓A：x^'2+y^'2=1，F(xiàn)'（

c

a

，0）．
延長TO交圓O于N
易知直線A₁B₁斜率為1，TM=MO=ON=1，A1B2=

2

，
設T（x′，y′），則TB2=

2

x′，y′=x′+1，
由割線定理：TB₂×TA₁=TM×TN

2

x′(

2

x′+

2

)   =1×3，
x′=

7 -1

2

（負值舍去）
y′=

7 +1

2

易知：B₁（0，-1）
直線B₁T方程：

y′+1

x′

=

7 +1 2 +1

7 -1 2

令y′=0
x′=2

7

-5，即F橫坐標
即原橢圓的離心率e=

c

a

=2

7

-5．
故答案：2

7

-5．