Question

設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC₁的棱AB和D₁C₁的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A₁ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：先把六個(gè)面分為三組，在一組組的進(jìn)行研究，找到直線與截面法向量的夾角即可得到結(jié)論．
解答：解：首先，把六個(gè)面分成三組，AA₁D₁D和BB₁C₁C對(duì)截面的關(guān)系是一樣的，其他四個(gè)是一樣的，
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，AD所在直線為X軸，DC所在直線為Y軸，DD₁所在直線為Z軸，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2；
則A（2，0，0），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2，），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2）；
∴=（-2，1，0），=（（0，1，2），=（-2，2，0），
=（-2，-2，0），=（-2，0，-2），=（0，-2，-2）；=（0，2，-2）
因?yàn)橐�想面�?duì)角線截面A₁ECF成60°角，需要直線與法向量的夾角為30度，即其余弦值為±．
設(shè)截面A₁ECF的法向量為=（x，y，z），
由⇒⇒=（1，2，1），且||=，
因?yàn)閏os＜，＞===≠±；
cos＜，＞==-，
cos＜，＞=≠±；
cos（，＞==-；
cos＜，＞=≠±；
再看AA₁D₁D這個(gè)面里，
AD₁與EF平行，不是，
所以，一共四條．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、直線與平面所成的角，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．