設(shè)函數(shù)f(x)=，其中a>0。

    （1）解不等式f(x)1；

    （2）求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+]上是單調(diào)函數(shù)。

 

答案：
解析：

(1)解法一  不等式，f(x)≤1即

    由此得1≤1＋αx，即αx≥0，其中常數(shù)α＞0。

    所以，原不等式等價于

即

    所以，當(dāng)0＜α＜1時，所給不等式的解集為


    當(dāng)α≥1時,所給不等式的解集為{x|x≥0}。

    解法二  f(x)≤1即≤αx＋1，原不等式等價于

    由①得x[(α2－1)x＋2α]≥0        ③

    由②得x≥－                       ④

    當(dāng)α=1時，③的解為x≥O，能滿足④。

    當(dāng)α＞1時。③的解為x≥O，或，

    x≥0能使④成立，

    =＜，

    所以α＞1時，x＜不能使④成立。

    當(dāng)0＜α＜1時，③的解為0≤x≤，能使④成立。

    綜上，當(dāng)0＜α＜1時，不等式的解集為

    。

    當(dāng)α≥1時，不等式的解集為|x|x≥0}。

    (2)解  在區(qū)間[0，＋∞)上任取x1，x2，使得x1＜x2，

    f(x1)－f(x2)=－α(x1－x2)

   

    =。

(i)當(dāng)

，

。

    又x1－x2＜0，

    ∴f(x1)－f(x2)＞0。

    即，f(x1)＞f(x2)。

    所以，當(dāng)α≥1時，函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。

    (ii)當(dāng)0＜α＜1時，在區(qū)間[0，＋∞)上存在兩點x1=2，x2=，滿足，f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)。

    綜上，當(dāng)且僅當(dāng)α≥1時，函數(shù)，f(x)在區(qū)間[0，＋∞]上是單調(diào)函數(shù)。

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x+ax+b
(a＞b＞0)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若向量
a
=(3sin(ωx+φ)，
3
sin(ωx+φ))，
b
=(sin(ωx+φ)，cos(ωx+φ))，其中ω＞0，0＜φ＜
π
2
，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
3
2
，其周期為π，且x=
π
12
是它的一條對稱軸．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，
π
4
]時，不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
1
x+b
（a，b為常數(shù)），且方程f(x)=
3
2
x有兩個實根為x1=-1，x2=2，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)
f(x)=
1-x
&(x∈(-∞，1]
）．
（1）求函數(shù)y=f（2x）的定義域；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明
f(x)=
1-x
&(x∈(-∞，1]
）在其定義域上為減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx，g(x)=
2e
x
（p是實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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