Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足：a1=2，且a1 ， a2 ， a5成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成比數(shù)列，故有（2+d）2=2（2+4d），

化簡(jiǎn)得d2﹣4d=0，解得d=0或4，

當(dāng)d=0時(shí)，an=2，

當(dāng)d=4時(shí)，an=2+（n﹣1）4=4n﹣2．

（2）解：當(dāng)an=2時(shí)，Sn=2n，顯然2n＜60n+800，

此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800成立，

當(dāng)an=4n﹣2時(shí)，Sn= =2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值為41，

綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿足題意的正整數(shù)n，

當(dāng)an=4n﹣2時(shí)，存在滿足題意的正整數(shù)n，最小值為41

【解析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式求得d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．（2）利用（1）中數(shù)列的通項(xiàng)公式，表示出Sn根據(jù)Sn＞60n+800，解不等式根據(jù)不等式的解集來判斷．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列．