Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+c，g（x）=lnx+c，a，c∈R；
（1）令F（x）=f（x）-g（x），①若函數(shù)F（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
②若G（x）=F（x）-x²，是否存在正實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，函數(shù)G（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
（2）若對?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明?x₀∈（x₁，x₂），使成立．

Answer 1

解：（1）①∵F（x）=f（x）-g（x）=x²+ax+c-lnx-c=x²+ax-lnx，
∴，
∵函數(shù)F（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴當x∈[1，2]時，恒成立，即恒成立，
又，
∴a∈；
②由G（x）=F（x）-x²=x²+ax-lnx-x²=ax-lnx，
由＜0，得x＜，若，則G（x）在（0，e]上為減函數(shù)，此時G（x）_min=ae-1，
由ae-1=3，得a=（舍）；若，則函數(shù)G（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，e）上為增函數(shù)，
所以，由，得a=e²
所以存在a=e²，使函數(shù)G（x）的最小值是3．
（2）令，
則，，
∴∴g（x）=0，
在（x₁，x₂）內(nèi)必有一個實根．即?x₀∈（x₁，x₂），使成立．
分析：（1）①求出函數(shù)F（x），由導函數(shù)在[1，2]上小于等于0恒成立，采用分離變量求a的范圍；②求出函數(shù)G（x），求其導函數(shù)，分最小值在不在給定的區(qū)間兩種情況討論a的存在性；
（2）構(gòu)造函數(shù)，判出g（x₁）•g（x₂）＜0，則說明?x₀∈（x₁，x₂），使成立．
點評：本題（1）考查了利用函數(shù)的導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點的判斷，考查了運用導函數(shù)的符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，同時考查了分類討論的數(shù)學思想；
（2）考查了函數(shù)零點的判定，判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有零點，只要滿足區(qū)間兩端點處的函數(shù)值的乘積小于0即可．