Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足下面兩個條件：
①對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②當x＞0時，f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明；
（3）如果不等式對于任意x∈R都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函數                   
（2）任取x₁＜x₂，則 f（x₂）﹣f（x₁）=f（x₂）+f（﹣x₁）=f（x₂﹣x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是減函數                              
（3）∵ ，且f（x）是奇函數
∴ 
∵f（x） 在R上是減函數
∴ ，即 
∴ 
∴下面即求函數 的最大值
由于 = ，sinx∈[﹣1，1]
∴當且僅當sinx=1時， = 
所以