已知α?xí)r第一象限角，sinα=
5
5
，且tan(α+β)=2.
(1)求tanα及tanβ的值；(2)求
sin(α+β)
cos(α-β)
的值.
．
分析：（1）由于α是第一象限角，sinα=
5
5
，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα 和 tanα 的值，再由tan（α+β）=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=2，求得tanβ 的值．
（2）利用兩角和差的三角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把
sin(α+β)
cos(α-β)
 化為
tanα+tanβ
1+tanαtanβ
，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）由于α是第一象限角，sinα=
5
5
，∴cosα=
2
5
5
，tanα=
sinα
cosα
=
1
2
．
再由tan（α+β）=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
1
2
+tanβ
1-
1
2
tanβ
=2，求得tanβ=
3
4
．
（2）
sin(α+β)
cos(α-β)
=
sinαcosβ+cosαsinβ
cosαcosβ+sinαsinβ
=
tanα+tanβ
1+tanαtanβ
=
1
2
+
3
4
1+
1
2
•
3
4
=
10
11
．
點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、本題主要考查兩角和差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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已知點A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若(λ∈R)，試求λ為何值時，點P在第一、三象限的角平分線上？點P在第三象限內(nèi)？

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已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋)＋－＋sinx·cosx

⑴ 求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；       ⑵ 若xÎ[0,]，求f(x)的最值；

 ⑶ 若f(a)＝，2a是第一象限角，求sin2a的值.

【解析】第一問中，利用f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)令＋2kp≤2x－≤＋2kp，

解得＋kp≤x≤＋kp 

第二問中，∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]，

∴當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝－,

當(dāng)2x－＝， 即x＝時，f(x)max＝1

第三問中，(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp

∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝

利用構(gòu)造角得到sin2a＝sin[(2a－)＋]

解：⑴ f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x     ………2分

＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)                 ……………………3分

⑴ 令＋2kp≤2x－≤＋2kp，

解得＋kp≤x≤＋kp          ……………………5分

∴ f(x)的減區(qū)間是[＋kp,＋kp](kÎZ)            ……………………6分

⑵ ∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]，           ……………………7分

∴當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝－,        ……………………8分

當(dāng)2x－＝， 即x＝時，f(x)max＝1          ……………………9分

⑶ f(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp

∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝,   ……………………11分

∴ sin2a＝sin[(2a－)＋]

＝sin(2a－)·cos＋cos(2a－)·sin   ………12分

＝×＋×＝

 

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