Question

若曲線f（x）=x⁴-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P的坐標為（ ）
A．（-1，2）
B．（1，-3）
C．（1，0）
D．（1，5）

Answer 1

【答案】分析：設出P的坐標為（a，b），根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導函數(shù)，由曲線在點P的切線與已知直線平行，得到斜率相等，先根據(jù)已知直線的方程求出已知直線的斜率即為曲線上過點P切線方程的斜率，即為導函數(shù)在x=a時的函數(shù)值，把x=a代入導函數(shù)表示出函數(shù)值，讓其等于切線方程的斜率列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根據(jù)求出的a與b的值寫出點P的坐標即可．
解答：解：設點P的坐標為（a，b），
由f（x）=x⁴-x，得到f′（x）=4x³-1，
因為曲線上過P的切線與直線3x-y=0平行，
所以過點P的切線的斜率k等于直線3x-y=0的斜率，即k=3，
則f′（a）=4a³-1=3，解得a=1，
把a=1代入得：f（1）=0，
則點P的坐標為（1，0）．
故選C
點評：此題要求學生掌握兩直線平行時斜率相等，會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道中檔題．