已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點，曲線C的方程是x2+y2=a2
（1）若點P的橫坐標為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）試問：曲線C上是否存在點M，使得△F1MF2的面積等于S=b2？若存在，求出橢圓離心率的取值范圍；若不存在，請說明理由．
分析：（1）確定橢圓的左準線方程，利用橢圓的定義，可得
|
F1P
|
|
a
2
+
a2
c
|
=
c
a
，從而可得結(jié)論；
（2）利用存在點M，使得△F1MF2的面積等于b2，確定M的縱坐標，即可求橢圓離心率的取值范圍．
解答：（1）證明：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左準線方程為x=-
a2
c

∵點P的橫坐標為
a
2
，
∴由橢圓的定義可知，
|
F1P
|
|
a
2
+
a2
c
|
=
c
a
，
∴|
F1P
|=a+
c
2
；
（2）解：假設(shè)存在，設(shè)M（x，y），則
∵△F1MF2的面積等于S=b2，
∴
1
2
•2c•|y|=b2
∴|y|=
b2
c

∵M在x2+y2=a2上，
∴
b2
c
≤a
∴e2+e-1≥0
∴e≥
2
-
1
2
或e≤-
2
-
1
2

∵0＜e＜1
∴
2
-
1
2
≤e＜1．
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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