Question

如圖，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，記∠B=α．
（1）試用α表示AP的長(zhǎng)；
（2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)α的值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作②，由①②消去AC，得到關(guān)于AP的方程，整理后可用α表示AP的長(zhǎng)；
（2）由三角形的面積公式表示出三角形ABC及三角形APC的面積，兩三角形面積之差即為四邊形ABCP的面積，整理后將表示出的AP代入，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出四邊形ABCP的面積的最大值，以及此時(shí)α的值．

解答：解：（1）△ABC與△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π-α，
由余弦定理得，AC²=2²+3²-2×2×3cosα，①
AC²=AP²+2²-2×AP×2cos（π-α），②
由①②得：AP²+4APcosα+12cosα-9=0，α∈（0，π），
解得：AP=3-4cosα；
（2）∵AP=3-4cosα，α∈（0，π），
∴S_{四邊形ABCP}=S_△ABC-S_△APC
=

1

2

×2×3sinα-

1

2

×2×APsin（π-α）
=3sinα-（3-4cosα）sinα
=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），
則當(dāng)α=

π

4

時(shí)，S_max=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．