Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0且x≠1時，（x-1）f'（x）＞0，又f（1）=2．則f（x）（　　）

A．在x＜0時有最小值-2

B．在x＜0時有最大值-2

C．在x≥0時有最小值2

D．在x≥0時有最大值2

Answer 1

分析：首先根據(jù)當(dāng)x＞0且x≠1時，（x-1）f'（x）＞0，討論得到f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函且在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．然后得到當(dāng)x＞0時，f（x）≥f（1）=2恒成立，可得當(dāng)x＜0時，f（-x）≥2恒成立，最后用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)，推得在x＜0時有最大值為f（-1）=-2，得到正確選項．

解答：解：∵（x-1）f'（x）＞0，
∴當(dāng)x＞1時，有f'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
因此，當(dāng)x＞0時，函f（x）的最小值f（1）=2，
即當(dāng)x＞0時，f（x）≥2恒成立，
∴當(dāng)x＜0時，f（-x）≥2恒成立
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）
∴當(dāng)x＜0時，-f（x）≥2恒成立．
即當(dāng)x＜0時，恒有f（x）≤-2
∵f（-1）=-（1）=-2
∴在x＜0時有最大值為f（-1）=-2
故選B

點評：本題以一個抽象函數(shù)為載體，著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識點，屬于中檔題．