Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=1 ，   an=

2 S 2 n

2Sn-1

  (n≥2)．證明數(shù)列{

1

sn

}是等差數(shù)列，并求出S_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：利用a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合條件，可得Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

  (n≥2)，化簡(jiǎn)兩邊同除以S_n S_n-1，即可證得結(jié)論，從而可求S_n的表達(dá)式．

解答：證明：∵a_n=S_n-S_n-1，an=

2S2

2Sn-1

 (n≥2)
∴Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

  (n≥2)．
化簡(jiǎn)，得S_n-1-S_n=2S_n S_n-1
兩邊同除以S_n S_n-1，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2  (n≥2)．
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以

1

a1

=

1

S1

=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=1+(n-1) 2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是利用a_n=S_n-S_n-1，進(jìn)行化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．