Question

（本小題滿分14分）函數(shù).

（1）若函數(shù)內單調遞增，求a的取值范圍；

（2）求函數(shù)上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）a的取值范圍為［1,+∞)

（2）f(x)在［1,2］上的最小值為

①當0＜a≤時，f(x) _min=ln2-；

②當＜a＜1時，f(x) _min=-lna+1-.

③當a≥1時，f(x) _min=0

【解析】解：f′(x)=  (x＞0).  ………………………………………………………2分

（1）由已知，得f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，

即a≥在［1,+∞)上恒成立

又∵當x∈［1,+∞)時，≤1，

∴ a≥1. 即a的取值范圍為［1,+∞)  …………………………………………………6分

（2）當a≥1時，∵ f′(x)＞0在（1，2）上恒成立，

f（x）在［1，2］上為增函數(shù)

∴ f（x）_min=f(1)=0 …………………………………………………………………………………8分

當0＜a≤，∵f′(x)＜0在（1，2）上恒成立，這時f(x)在［1,2］上為減函數(shù)

∴ f（x）_min=f(2)=ln2-.……………………………………………………………10分

當＜a＜1時，?

∵x∈［1，)，f′(x)＜0； x∈(，2］，f′(x)＞0，

∴ f(x) _min=f()=-lna+1-.……………………………………………………12分

綜上，f(x)在［1,2］上的最小值為

①當0＜a≤時，f(x) _min=ln2-；

②當＜a＜1時，f(x) _min=-lna+1-.

③當a≥1時，f(x) _min=0 ……………………………………………………………14分