Question

19．是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為14？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 先令t=a^x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再結(jié)合a＞1或0＜a＜1確定出t的范圍，結(jié)合單調(diào)性確定何時取最大值列出方程即可．

解答 解：令t=a^x＞0
則原函數(shù)化為y=t²+2t-1=（t+1）²-2
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知該函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
結(jié)合x∈[-1，1]，
則當a＞1時，t=a^x∈[$\frac{1}{a}$，a]，所以y_max=a²+2a-1=14，解得a=3或-5（舍），所以此時a=3符合題意；
當0＜a＜1時，t=a^x∈[a，$\frac{1}{a}$]，所以y_max=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{a}$-1=14，解得$\frac{1}{a}$=3或-5（舍），故a=$\frac{1}{3}$符合題意；
綜上，所求實數(shù)a的值為3或$\frac{1}{3}$

點評 本題考查了利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題是關(guān)鍵．