Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線l過點P（2，0），斜率為

4

3

，直線l和拋物線y²=2x相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M，求：
（1）|PM|； 
（2）|AB|．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）由于直線l過點P（2，0），斜率為

4

3

．設直線的傾斜角為α，tanα=

4

3

，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
得到直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（t為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=2x中，
得到關于t的一元二次方程，設這個一元二次方程的兩個根為t₁、t₂，得到根與系數(shù)的關系，由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得到|PM|=

|t1+t2|

2

．
（2）利用弦長公式|AB|=|t₂-t₁|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（1）∵直線l過點P（2，0），斜率為

4

3

，
設直線的傾斜角為α，tanα=

4

3

，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴直線l的參數(shù)方程為

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（t為參數(shù)）（*）
∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，且△=15²+4×8×50＞0，
設這個一元二次方程的兩個根為t₁、t₂，
由根與系數(shù)的關系，得t₁+t₂=

15

8

，t₁t₂=-

25

4

，
由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，
得|PM|=|

t1+t2

2

|=

15

16

．
（2）|AB|=|t₂-t₁|
=

(t1+t2)2-4t1t2

=

5

8

73

．

點評：本題考查了直線的參數(shù)方程的應用、參數(shù)的幾何意義、中點坐標公式、弦長公式，考查了計算能力和推理能力，屬于中檔題．