Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a≠0）．
（1）若對(duì)任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)a取最大值時(shí)，試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[，e]上的單調(diào)性；
（3）求證：對(duì)任意的n∈N^*，不等式lnn³-n²+成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，ax（2-lnx）≤1對(duì)任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤對(duì)任意x＞0恒成立，確定左邊的最大值，即可求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）先證明x²-6x+8≥-4lnx+4ln2，從而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，對(duì)任意k∈N₊成立，疊加，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：由題意，ax（2-lnx）≤1對(duì)任意x＞0恒成立，即x（2-lnx）≤對(duì)任意x＞0恒成立
令h（x）=x（2-lnx），則h′（x）=1-lnx＞0 得0＜x＜e
故h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，-----------------------（2分）
∴h（x）_max=h（e）=e，∴e≤，∴0＜a≤．
故所求正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，]．---------（1分）
（2）解：由（1）知a=，此時(shí)f（x）=x²-3x+2lnx，f′（x）=得x＜1或x＞2，
故f（x）在區(qū)間（，1），（2，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減．----------（3分）
（3）證明：由（2）知f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x≥1時(shí)，x²-3x+2lnx≥2ln2-4，即x²-6x+8≥-4lnx+4ln2．
從而k²-6k+8≥-4lnk+4ln2，對(duì)任意k∈N₊成立．----------------------------（2分）
于是（k²-6k+8）≥（-4lnk+4ln2），
即＞-4lnn!+8n＞-4lnn!+4nln2
即．
即lnn³-n²+成立-------------（4分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．