Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關(guān)于a，b的兩個等式，解方程組求出a，b的值；
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

，所以f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）利用單調(diào)性，再結(jié)合其為奇函數(shù)，即可把原不等式轉(zhuǎn)化，從而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，所以

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
又由f（1）=-f（-1），

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +a

1+a

，解得a=2．
所以a=2；b=1-------------------------（3分）
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

所以f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)---------------（9分）
（3）因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是減函數(shù)，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或t＜-

1

3

，
故不等式的解集為：{ t|t＞1或t＜-

1

3

}．-------------------------------------（13分）

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及應(yīng)用性質(zhì)求參數(shù)的值，屬于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．