已知函數(shù)f(x)=
1
3
(k-1)x3+
1
2
(k-1)x2+x
在(-∞,+∞)上是增函數(shù),求k的取值范圍.
分析:函數(shù)y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),即導(dǎo)數(shù)y=f'(x)在(-∞,+∞)上恒大于或等于0,由此討論關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+1≥0在R上恒成立,建立k所滿足的不等關(guān)系,解之即得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:解:對函數(shù)f(x)=
1
3
(k-1)x3+
1
2
(k-1)x2+x
求導(dǎo)數(shù),得
f'(x)=(k-1)x2+(k-1)x+1
∵函數(shù)f(x)=
1
3
(k-1)x3+
1
2
(k-1)x2+x
在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立
得k-1=0或
k>0
(k-1)2-4(k-1)≤0
,解之得1≤k≤5
∴k的取值范圍是:[1,5]
點(diǎn)評:本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)在R上是增函數(shù),求參數(shù)k的取值范圍,著重考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式恒成立等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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