Question

6．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱是AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四種說(shuō)法：
（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，四邊形MENF的面積最��；
（3）四邊形MENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
（4）四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，以上說(shuō)法中正確的為（　�。�

• A． （2）（3）
• B． （1）（3）（4）
• C． （1）（2）（3）
• D． （1）（2）

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．（2）四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可．（3）判斷周長(zhǎng)的變化情況．（4）求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以正確．
（2）連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=$\frac{1}{2}$時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以正確．
（3）因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變�。�當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以錯(cuò)誤．
（4）連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形C′EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高．