Question

（文科）已知函數(shù)f(x)=ax3+

1

2

x2-2x+c，在點(diǎn)(-

1

3

，f(-

1

3

))的切線與直線y=-2x+1平行，且函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)；
（1）求f（x）的解析式及極值；
（2）若g(x)=

1

2

bx2-x+d，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）與f（x）的兩圖象恒有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，f'（x）=3ax²+x-2，根據(jù)過(guò)點(diǎn)(-

1

3

，f(-

1

3

))的切線與直線y=-2x+1平行，可得f(-

1

3

)=3a•

1

9

-

1

3

-2=-2，從而可求a的值；根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得c=0，從而可求f（x）的解析式；
利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（2）由（1）知f（x）=x3+

1

2

x2-2x，又已知三個(gè)交點(diǎn)中有一個(gè)橫坐標(biāo)為-1，則有(-1)3+

1

2

(-1)2+2=

1

2

b+1+d⇒d=-

1

2

(b-1)，從而方程x3+

1

2

(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=0，恒有含x=-1的三個(gè)不等實(shí)根．進(jìn)而有方程x2-

1

2

(b+1)x+

1

2

(b-1)=0有兩個(gè)異于x=-1的不等式的根，故可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）由題對(duì)f（x）求導(dǎo)得，f'（x）=3ax²+x-2
∵過(guò)點(diǎn)(-

1

3

，f(-

1

3

))的切線與直線y=-2x+1平行，
∴f(-

1

3

)=3a•

1

9

-

1

3

-2=-2⇒a=1，
又∵函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，
∴f（0）=0⇒c=0，∴f（x）=x3+

1

2

x2-2x
∴f′（x）=3x²+x-2
令f′（x）=0得x=

2

3

或x=-1，
則有x∈(-∞，-1)，x∈(

2

3

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x∈(-1，

2

3

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）_極大值=f(-1)=

3

2

，f（x）_極小值=f(

2

3

)=-

22

27

（2）由（1）知f（x）=x3+

1

2

x2-2x，又已知三個(gè)交點(diǎn)中有一個(gè)橫坐標(biāo)為-1，
則有(-1)3+

1

2

(-1)2+2=

1

2

b+1+d⇒d=-

1

2

(b-1)①
∴方程為x3+

1

2

x2-2x=

1

2

bx2-x-

1

2

(b-1)
即：x3+

1

2

(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=0，恒有含x=-1的三個(gè)不等實(shí)根．
運(yùn)用待定系數(shù)法得：x3+

1

2

(1-b)x2-x+

1

2

(b-1)=(x+1)(x3-

1

2

(b+1)x+

1

2

(b-1))=0
∴方程x2-

1

2

(b+1)x+

1

2

(b-1)=0有兩個(gè)異于x=-1的不等式的根．
∴

△= 1 4 (b+1)2-4× 1 2 (b-1)＞0 (-1)2+ 1 2 (b+1)+ 1 2 (b-1)≠0

∴b≠-1，且b≠3
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的討論，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．