Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在BC₁上運(yùn)動，給出下列四個(gè)命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；  ②DP⊥BC₁；③A₁P∥平面ACD₁； ④平面PDB₁⊥ACD₁；
其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距離不變，且三角形 AD₁P的面積不變．
②，當(dāng)P 與B重合時(shí)，DP與BC₁；成60°角，不垂直．
③連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
④連接DB₁，容易證明DB₁⊥面ACD₁ ，從而可以證明面面垂直．
解答：解：對于①，V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距離不變，且三角形 AD₁P的面積不變．∴三棱錐A-D₁PC的體積不變；  正確；
②連接DB，DC₁，可知△DBC₁是正三角形，當(dāng)且僅當(dāng)P為BC₁中點(diǎn)時(shí)，DP⊥BC₁，考慮特殊位置，當(dāng)P 與B重合時(shí)，DP與BC₁成60°角，不垂直．
錯(cuò)誤
③連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得 A₁P∥平面ACD₁；．正確．
④連接DB₁，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB₁⊥面ACD₁ ，DB₁?平面PDB₁ 從而可以證明平面PDB₁⊥ACD₁；正確．
正確的命題個(gè)數(shù)有 3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想，及特殊和一般的思想方法．