Question

（本題滿分13分）已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

（1） 當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，不是單調(diào)函數(shù)；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）;（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，對不同的取值進行討論確定導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，從而可求得單調(diào)區(qū)間.（2）因為函數(shù)在點點處的切線的傾斜角為，可求出的值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)等價于可求的取值范圍.（3）因為，所以要證結(jié)論成立，只要證即即可，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即對一切成立，所以，則有可證結(jié)論成立.

試題解析：（1），

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，不是單調(diào)函數(shù)；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 4分

（2）由，得，

，

所以，

所以，

因為在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且，所以，

由題意知，對于任意的，恒成立，

所以，解得，

故實數(shù)的取值范圍是 9分

（3）令，所以，

所以，

由（1）知在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，

即，

所以對一切成立，

因為，則有，

所以，

故 13分

考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明.