Question

三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側棱剪開，其展開圖是一個直角梯形p₁p₂p₃A，如圖．
（1）求證：PB⊥AC
（2）求PB與面ABC所成角的大�。�
（3）（只理科做）求三棱錐P-ABC外接球的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明BP⊥平面PAC，觀察展開圖發(fā)現(xiàn)P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C，故BP⊥PC，BP⊥PA；再證明PB⊥AC，利用線面垂直的定義即可
（2）先求三棱錐的棱長AP，AC，PC，利用展開圖，再作出線面角的平面角，即作PO⊥平面ABC，連接BO交AC于D，連接PD，則∠PBO為PB與面ABC所成角，最后在△PAC中計算∠PBO即可
（3）先計算△PAC的外接圓直徑，利用平面幾何知識即可，再證明BM為球的直徑，設△PAC的外接圓圓心為Q，球心為O．連接PQ并延長交球面于M，連BM，OQ，因為BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，所以BP∥OQ，從而平面BPM是球的一個大圓，BM為球的直徑，最后在△BPM中計算球的直徑BM的長，進而求球的表面積
解答：解：（1）證明：由展開圖知：P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C
∴BP⊥PC，BP⊥PA，∴BP⊥平面PAC
∵AC?平面PAC，∴PB⊥AC
（2）設PA=AC=AP₃=x，P₃C=y
作AE⊥CP₃，則E為CP₃的中點
∴x²-=16，且x=y+，解得 x=3，y=2
即PA=AC=3，PC=2
作PO⊥平面ABC，連接BO交AC于D，連接PD
∴∠PBO為PB與面ABC所成角
∵BP⊥平面PAC，易證AC⊥BD，AC⊥PD
在△PAC中，
×2×4=×3×PD
∴PD=
∴tan∠PBO==，
∴∠PBO=arctan
（3）設△PAC的外接圓圓心為Q，球心為O．連接PQ并延長交球面于M，連BM，OQ
∵BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，∴BP∥OQ
∴平面BPM是球的一個大圓
在△BPM中，BP=2，PM=
∴BM==，∴球半徑R=
∴球的表面積S=4πR²=
點評：本題綜合考察了立體幾何中的折疊問題，直線與平面所成的角的求法，三棱錐的外接球的半徑的求法等知識和技能，解題時要具有較強的空間想象能力，熟練地將空間問題轉化為平面問題加以解決