已知點P在△ABC所在平面外,PA=PB,CB⊥平面PAB,M為PC的中點,N在AB上,如圖所示,問當N在AB的什么位置上時,有MN⊥AB?

解析:欲證MN⊥AB,注意到AB是平面PAB內(nèi)的一條直線,MN是這一平面的一條斜線,所以只需證MN在平面PAB內(nèi)的射影與AB垂直.

如圖所示,取PB中點E,

連結EM,則EM∥BC.

又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.

設AB中點為F,因為PA=PB,所以PF⊥AB.

作EN∥PF,且EN∩AB=N,則EN⊥AB.

由三垂線定理知MN⊥AB.

此時N為AB的一個四等分點,且.

所以當N是AB的一個四等分點且距B為AB時,MN⊥AB.

小結:三垂線定理或其逆定理可以看作是線面垂直的一種性質定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.

所以AB⊥MN.但為方便起見,我們應該熟悉三垂線定理及其逆定理的直接使用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=
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，AC=BC=1，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點P到平面ABC的距離；
（Ⅲ）已知點E在線段PB上，且BE=1，求EC與平面ABC所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（不等式選做題）不等式|
x+1
x-1
|≥1的解集是
（-∞，0]
（-∞，0]
．
B．（幾何證明選做題） 如圖，以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點，∠ACB=60°，則EF=
2
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．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題） 在極坐標中，已知點P為方程ρ（cosθ+sinθ）=1所表示的曲線上一動點，Q（2，
π
3
），則|PQ|的最小值為
6
2
6
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（x，y）在△ABC所圍成的三角形區(qū)域中（包括邊界）其中三頂點A（1，1），B（5，2），C（1，4），若z=ax+y取最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則正數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P在△ABC所在平面外，直線PA與AB、AC所成的角均為arcsin，且AB = AC =，BC =，則異面直線PA與BC的距離是         。

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