Question

已知a、b、m、n∈N₊，{a_n}是首項(xiàng)為a，公差為b的等差數(shù)列；{b_n}是首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列，且滿足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）數(shù)列{1+a_m}與數(shù)列{b_n}的公共項(xiàng)，且公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，求{c_n}的前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

（1）∵a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1，
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
∴由a+b＜ab，a、b∈N₊得a＞1+

a

b

．
∵0＜

a

b

＜1，∴a≥2．
又得b＞1+

b

a

，而

b

a

＞1，∴b≥3．
再由ab＜a+2b，b≥3，得a＜

2b

b-1

=2(1+

1

b-1

)≤3．
∴2≤a＜3
∴a=2．
（2）設(shè)1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．
∴3+（m-1）b=b•2^n-1，b=

3

2n-1-(m-1)

∈N+．
∵b≥3，∴2^n-1-（m-1）=1．∴2^n-1=m．
∴c_n=b_n=3•2^n-1．
故S_n=3（1+2++2^n-1）=3（2ⁿ-1）．