Question

（2013•肇慶一模）在實數(shù)集R中定義一種運算“⊕”，具有性質(zhì)：
①對任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②對任意a∈R，a⊕0=a；
③對任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）-2c．
函數(shù)f（x）=x⊕

1

x

（x＞0）的最小值為（　�。�

• A．4
• B．3
• C．2

  2

• D．1

Answer 1

分析：根據(jù)題中給出的對應(yīng)法則，可得f（x）=（x⊕

1

x

）⊕0=1+x+

1

x

，利用基本不等式求最值可得x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，由此可得函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=3．

解答：解：根據(jù)題意，得
f（x）=x⊕

1

x

=（x⊕

1

x

）⊕0=0⊕（x•

1

x

）+（x⊕0）+（

1

x

⊕0 ）-2×0=1+x+

1

x

即f（x）=1+x+

1

x

∵x＞0，可得x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

=1，即x=1時等號成立
∴1+x+

1

x

≥2+1=3，可得函數(shù)f（x）=x⊕

1

x

（x＞0）的最小值為f（1）=3
故選：B

點評：本題給出新定義，求函數(shù)f（x）的最小值．著重考查了利用基本不等式求最值、函數(shù)的解析式求法和簡單的合情推理等知識，屬于中檔題．