Question

（2013•河池模擬）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值，當(dāng)x∈[-2，6]時，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范圍
（2）若g（x）=x³+（b-a+1）x+a+c 寫出使的g（x）＞f（x）的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)在兩個點取得極值，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在這兩個點的值等于0，得到關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b；再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，讓其小于代數(shù)式即可．
（2）先把不等式轉(zhuǎn)化為ax²+（1-a）x+a＞0；再通過對a的取值的討論即可得到g（x）＞f（x）的x取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值，
∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的兩根，
∴

-1+3= 2 3 a -1×3= b 3

⇒

a=3 b=-9

∴f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，
當(dāng)x變化時，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	最大值 c+5	↘	最小值 c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，
∴x∈[2，6]時f（x）的最大值為c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
⇒c＞54，c＜-18．
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
（2）不等式可化為ax²+（1-a）x+a＞0．
當(dāng)a=0時，x＞0
當(dāng)a≠0時，對應(yīng)方程的△=1-3a²-2a=-（3a-1）（a+1）
所以：當(dāng)0＜a＜

1

3

時，x＞

a-1+ 1-3a2-2a

2a

或x＜

a-1- 1-3a2-2a

2a

當(dāng)a＞

1

3

時，x∈R，
當(dāng)a=

1

3

時，x≠-1
當(dāng)-1＜a＜0時，

a-1+ 1-3a2-2a

2a

＜x＜

a-1- 1-3a2-2a

2a

當(dāng)a≤-1時，x∈∅．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查函數(shù)的恒成立問題，本題解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的最值，拿函數(shù)的最值同要比較的量進行比較，再利用不等式或方程思想．