Question

已知點(diǎn)P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂為鈍角，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是

（-3，3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程，可得a²=45，b²=20，所以c=

a2-b2

=5，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）．然后設(shè)P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），根據(jù)∠F₁PF₂為鈍角，得到

PF1

•

PF2

＜0，代入坐標(biāo)得x²-25+y²＜0．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，得到y(tǒng)²=20（1-

x2

45

），代入不等式，解之即可得到正確答案．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

45

+

y2

20

=1，
∴a²=45，b²=20，可得c=

a2-b2

=5，
因此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
設(shè)P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），
∵∠F₁PF₂為鈍角，
∴

PF1

•

PF2

＜0，即（-5-x）×（5-x）+（-y）×（-y）＜0
∴x²-25+y²＜0…（*），
∵點(diǎn)P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，
∴y²=20（1-

x2

45

），代入（*）式得：x²-25+20（1-

x2

45

）＜0，
∴x²-5-

4

9

x²＜0，解之得x∈（-3，3）．
故答案為：（-3，3）

點(diǎn)評：本題給出橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為鈍角，求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．著重考查了橢圓的基本概念和向量的數(shù)量積等知識點(diǎn)，屬于中檔題．