Question

（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．

(1) 當(dāng)a = 4時(shí)，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=，

因?yàn)?<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)；

（2）。

【解析】

試題分析：(1) 當(dāng)時(shí)，，…………………………………………1分

任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=………………3分

因?yàn)?<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)………………………………………5分

所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；………………………………………………………6分

(2)，……………………………………………………7分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，…………………………………………………………8分

當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，………………………10分

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，…………………………………11分

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，………………………………………………13分

綜上所述： ………………………………………14分

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性和最值；基本不等式。

點(diǎn)評(píng)：用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：一設(shè)二作差三變形四判斷符號(hào)五得出結(jié)論，其中最重要的是四變形，最好變成幾個(gè)因式乘積的形式，這樣便于判斷符號(hào)。