Question

（2012•南寧模擬）已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x．（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無零點(diǎn)，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)等于1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（2）f（x）小于0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在（0，

1

2

）上無零點(diǎn)，只需要對(duì)x屬于（0，

1

2

）時(shí)f（x）大于0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，x＞0，
求其導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=1-

2

x

，
令1-

2

x

＞0，可得x＞2，令1-

2

x

＜0，可得0＜x＜2，
故此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），
單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立，即對(duì)x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈(0，

1

2

)，則l′(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，x∈(0，

1

2

)，
則m′(x)=

2

x

-

2

x2

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在(0，

1

2

)上為減函數(shù)，
于是m(x)＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0，
從而，l′（x）＞0，于是l（x）在(0，

1

2

)上為增函數(shù)，
所以l(x)＜l(

1

2

)=2-4ln2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數(shù)f（x）在(0，

1

2

)上無零點(diǎn)，則a的最小值為2-4ln2；

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，