Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，若

lim

n→∞

S_n=2，則此等比數(shù)列的首項(xiàng)a₁的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

=2⇒q=1-

a1

2

∈（-1，1），從而可求得a₁的取值范圍．

解答： 解：依題意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

，
∵

lim

n→∞

S_n=2，
∴

a1

1-q

=2，
∴q=1-

a1

2

∈（-1，1），q≠0，
即-1＜

a1

2

-1＜1且

a1

2

-1≠0，
解得0＜a₁＜2或2＜a₁＜4．
故答案為：（0，2）∪（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和與數(shù)列的極限，求得q=1-

a1

2

是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．