Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥BD，
又AB=BC，D為AC中點(diǎn)，
∴BD⊥AC
∵PC∩AC=C
∴BD⊥平面ACP
∵AP?平面ACP，
∴BD⊥AP，又AP⊥DE，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE
（II）∵AE：EP=1：2，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，
∴S_△PEF：S_△PAC=

1

2

×

2

3

=1：3
則S_△PEF：S_{四邊形ACEF}=1：2
∵截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分是均以B為頂點(diǎn)，底面分別為△PEF和四邊形ACEF的棱錐
故截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比即為S_△PEF：S_{四邊形ACEF}=1：2