Question

已知函數(shù)f（x）=[x²-（a+2）x-2a²+a+2]e^x．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x²-2x+2）e^x，則切點(diǎn)為（0，2）
且f'（x）=x²e^x⇒k=f′（0）=0，
則切線方程為y=2；
（Ⅱ）f′（x）=（x²-ax-2a²）e^x=（x+a）（x-2a）e^x，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜-a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得（-a，2a），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，解得x＞-a或x＜2a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得（2a，-a），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上：a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，-a）、（2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，2a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，2a）、（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（2a，-a）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．