Question

 

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恒在直線下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?sub>………………1分

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，；……………2分

       由，結(jié)合定義域解得…………3分

     ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，.……………………………4分

（Ⅱ）將化簡(jiǎn)得，∴有

令，則，由解得.…………6分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

     故

∴，使成立等價(jià)于

即a的取值范圍為……………………………8分

（Ⅲ）令，則的定義域?yàn)椋?，+∞）.

……………………………………………9分

     在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方等價(jià)于

在區(qū)間（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得極值點(diǎn)，，………………11分

當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有，

此時(shí)在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有

∈(，+∞)，不合題意；………………………………………12分

當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合題意；………………………………………13分

② 若，則有，此時(shí)在區(qū)間(1，+∞)上恒有，

從而在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)；……………………………………14分

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是[，].

綜合①②可知，當(dāng)∈[，]時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方.……16分